Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₀，f（x₀））為函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)，若曲線f（x）在點(diǎn)A處的切線的斜率恒大于-3，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x），討論m的取值，使f'（x）＞0，對(duì)應(yīng)f（x）是增函數(shù)，從而得增區(qū)間；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線的斜率大于-3，得x₀∈（0，+∞）時(shí)，f′（x₀）＞-3恒成立，求此不等式恒成立時(shí)m的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=x-(3+m)+

3m

x

=

x2-(3+m)x+3m

x

=

(x-3)(x-m)

x

．
①當(dāng)m≤0時(shí)，
令f'（x）＞0，解得x＞3，所以函數(shù)f（x）在（3，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)0＜m＜3時(shí)，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜m或x＞3，所以函數(shù)f（x）在（0，m）和（3，+∞）上是增函數(shù)；
③當(dāng)m=3時(shí)，f′(x)=

(x-3)2

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；
④當(dāng)m＞3時(shí)，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜3或x＞m，所以函數(shù)f（x）在（0，3）和（m，+∞）上是增函數(shù)．
綜上所述，
①當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞）；
②當(dāng)0＜m＜3時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，m）和（3，+∞）；
③當(dāng)m=3時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
④當(dāng)m＞3時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，3）和（m，+∞）．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線的斜率大于-3，
所以當(dāng)x₀∈（0，+∞）時(shí)，f′(x0)=x0-(3+m)+

3m

x0

＞-3恒成立．
即當(dāng)x₀∈（0，+∞）時(shí)，x02-mx0+3m＞0恒成立．
方法1：
設(shè)h（x₀）=x02-mx0+3m，函數(shù)h（x₀）的對(duì)稱軸方程為x0=

m

2

．
（ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，h（x₀）=x02＞0在x₀∈（0，+∞）時(shí)恒成立．
（ⅱ） 當(dāng)

m

2

＞0時(shí)，即m＞0時(shí)，在x₀∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)h（x₀）＞0成立，則方程h（x₀）=0的判別式△=m²-12m＜0，解得0＜m＜12．
（ⅲ）當(dāng)

m

2

＜0時(shí)，即m＜0時(shí)，h（x₀）在（0，+∞）上為增函數(shù)，h（x₀）的取值范圍是（3m，+∞），則在x₀∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)h（x₀）＞0不恒成立．
綜上所述，0≤m＜12時(shí)，在函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)A處的切線的斜率恒大于-3．
方法2：
由x02-mx0+3m＞0在x₀∈（0，+∞）時(shí)恒成立，得x₀∈（0，+∞）時(shí)，m(3-x0)＞-x02．
（ⅰ）當(dāng)x₀=3時(shí)，m(3-x0)＞-x02恒成立；
（ⅱ）當(dāng)0＜x₀＜3時(shí)，上式等價(jià)于m＞

x02

x0-3

，h(x0)=

x02

x0-3

，由于此時(shí)h（x₀）為減函數(shù)，h（x₀）的取值范圍是（-∞，0），只需m≥0；
（ⅲ）當(dāng)x₀＞3時(shí)，m(3-x0)＞-x02上式等價(jià)于m＜

x02

x0-3

，設(shè)h(x0)=

x02

x0-3

，則h（x₀）=

(x0-3)2+6(x0-3)+9

x0-3

=x0-3+

9

x0-3

+6，當(dāng)x₀＞3時(shí)，h（x₀）≥12（當(dāng)且僅當(dāng)x₀=6時(shí)等號(hào)成立），則此時(shí)m＜12．
所以在（0，+∞）上，當(dāng)0≤m＜12時(shí)，在函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)A處的切線的斜率恒大于-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求不等式恒成立的問題，是較難的題目．