Question

已知函數f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數n，不等式2+

3

4

+

4

9

+L+

n+1

n2

＞ln(n+1)都成立．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=ln（x+a）-x²-x，對其進行求導，在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，求得a值；
（2）關于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，將問題轉化為φ（x）=0，在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，對φ（x）對進行求導，從而求出b的范圍；
（3）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定義域為{x|x＞-1}，利用導數研究其單調性，可以推出ln（x+1）-x²-x≤0，令x=

1

n

，可以得到ln（

1

n

+1）＜

1

n

+

1

n2

利用此不等式進行放縮證明；

解答：解：（1）函數f（x）=ln（x+a）-x²-x
f′（x）=

1

x+a

-2x-1               …（1分）
當x=0時，f（x）取得極值，
∴f′（0）=0                                    …（2分）
故

1

0+a

-2×0-1=0解得a=1，經檢驗a=1符合題意．…（3分）
（2）由a=1知f（x）=ln（x+1）-x²-x
由f（x）=-

5

2

x+b，得ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，
則f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根等價于φ（x）=0
在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根．…（4分）
φ′（x）=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，…（5分）
當x∈[0，1]時，φ′（x）＞0，于是φ（x）在{0，1）上單調遞增；
當x∈（1，2]時，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上單調遞減，
依題意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+

3

2

-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+

1

2

；           …（9分）
（3）f（x）=ln（x+1）-x²-x
的定義域為{x|x＞-1}，由（1）知
f（x）=

-x(2x+3)

x+1

，
令f′（x）=0得，x=0或x=-

3

2

（舍去），
∴當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0（當且僅當x=0時，等號成立）…（11分）
對任意正整數n，取x=

1

n

＞0得，ln（

1

n

+1）＜

1

n

+

1

n2

 …（12分）
∴l(xiāng)n（

n+1

n

）＜

n+1

n2

故2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）．…（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的極值及單調性，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運用，第三問難度比較大，利用了前兩問的結論進行證明，此題是一道中檔題；