Question

已知圓K過定點A(a,0)(a＞0),圓心K在拋物線C:y²=2ax上運動,MN為圓K在y軸上截得的弦.

(1)試問MN的長是否隨圓心K的運動而變化?

(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時,拋物線C的準(zhǔn)線與圓K有怎樣的位置關(guān)系?證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：(1)設(shè)圓心K(x₀,y₀),且y₀²=2ax₀,圓K的半徑R=|AK|==,

∴|MN|=2=2=2a(定值).

∴弦MN的長不隨圓心K的運動而變化.

(2)設(shè)M(0,y₁),N(0,y₂),

在圓K:(x-x₀)²+(y-y₀)²=x₀²+a²中,

令x=0,得y²-2y₀y+y₀²-a²=0.

∴y₁y₂=y₀²-a².

∵|OA|是|OM|和|ON|的等差中項,

∴|OM|+|ON|=|y₁|+|y₂|=2|OA|=2a.

又∵|MN|=|y₁-y₂|=2a,

∴|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|.

∴y₁·y₂≤0.因此y₀²-a²≤0,

即2ax₀-a²≤0,

∴0≤x₀≤.

圓心K到拋物線準(zhǔn)線的距離d=x₀+≤a,

而圓K半徑R=≥a,

以上兩式不能同時取等號,故圓K必與準(zhǔn)線相交.