Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x

x

+lnx
（1）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7）
（2）求證：ln

n

n-1

＞

1

n

；
（3）求證：對大于1的任意正整數(shù)n，都有 lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，比較端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求得結(jié)論；
（2）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，令x=

n

n-1

代入函數(shù)f（x）根據(jù)單調(diào)性，即可得到不等式ln

n

n-1

＞

1

n

，
（3）由（2）令n=1，2，…代入可證．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

x-1

x2

∴x∈[

1

2

，1]時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
∴f（x）在[

1

2

，2]上有唯一極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)，最小值為f（1）=0
∵f(

1

2

)=1-ln2，f(2)=-

1

2

+ln2，
∴f(

1

2

)-f(2)=

lne3-ln16

2

＞0
∴f(

1

2

)＞f(2)
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為1-ln2；
（2）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)n＞1時(shí)，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

；
（3）證明：由（2）知，ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，…，ln

n

n-1

＞

1

n

∴l(xiāng)n

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴l(xiāng)nn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

即對大于1的任意正整數(shù)n，都有l(wèi)nn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．