Question

若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，滿足f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，則稱這樣的函數(shù)f（x）為“優(yōu)美函數(shù)”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f(x)=

x

是否為“優(yōu)美函數(shù)”？若是，求出a，b；若不是，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f(x)=

x

+t為“優(yōu)美函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知條件中“優(yōu)美函數(shù)”的定義，說(shuō)明函數(shù)f(x)=

x

在區(qū)間[a，b]的值域是[a，b]，又由函數(shù)的單調(diào)性，得到

a =a b =b

，解出a與b即可；
（2）由題意知，函數(shù)f(x)=

x

+t為“優(yōu)美函數(shù)”，等價(jià)于方程

x

+t=x有兩實(shí)根，進(jìn)而得到參數(shù)t的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由于函數(shù)f(x)=

x

是增函數(shù)，則得

a =a b =b

，
因?yàn)閍＜b，所以

a=0 b=1

；
（Ⅱ）由于函數(shù)f(x)=

x

+t為“優(yōu)美函數(shù)”，則得方程

x

+t=x有兩實(shí)根，
設(shè)

x

=m (m≥0)，所以關(guān)于m的方程m+t=m²即t=m²-m在[0，+∞）有兩實(shí)根，
即函數(shù)y=t與函數(shù)y=(m-

1

2

)2-

1

4

的圖象在[0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∴-

1

4

＜t≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)新定義構(gòu)造出滿足條件的方程（組）或不等式（組）將新定義轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型是解答本題的關(guān)鍵．