Question

函數(shù)f(x)=

x-4

+

15-3x

的值域是（　　）

• A．[1，2]
• B．[0，2]
• C．(0，

  3

  ]
• D．[1，

  3

  ]

Answer 1

分析：首先求出函數(shù)的定義域?yàn)閧x|4≤x≤5}，想求函數(shù)的值域，可想著去掉根式，因此借助于三角函數(shù)，令x=4+sin²θ 
（0≤θ≤

π

2

），把x代入函數(shù)解析式即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于角θ的三角函數(shù)，把三角函數(shù)化積后可求值域，從而求出原函數(shù)的值域．

解答：解：由

x-4≥0 15-3x≥0

得：4≤x≤5，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|4≤x≤5}．
設(shè)x=4+sin²θ （0≤θ≤

π

2

），
則原函數(shù)化為y=

4+sin2θ-4

+

15-3(4+sin2θ)

=|sinθ|+

3

|cosθ|
∵0≤θ≤

π

2

，
∴y=sinθ+

3

cosθ=2(

1

2

sinθ+

3

2

cosθ)=2sin(θ+

π

3

)．
∵0≤θ≤

π

2

，∴

π

3

≤θ+

π

3

≤

5

6

π，∴1≤2sin(θ+

π

3

)≤2．
所以，y=2sin(θ+

π

3

)的值域是[1，2]．
則函數(shù)f(x)=

x-4

+

15-3x

的值域是[1，2]．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域及其求法，訓(xùn)練了利用換元法求解函數(shù)的值域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵借助于三角代換化無理函數(shù)為有理函數(shù)，此題是中檔題．