Question

平面直角坐標系中，已知定點A₁（-

7

，0），A₂（

7

，0），動點B₁（0，m），B₂（0，

1

m

），（m∈R且m≠0），直線A₁B₁與直線A₂B₂的交點N的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）過點M（

4

3

，0）的直線l交軌跡C于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓與y軸相切，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件失策導(dǎo)出直線A₁B₁為y=

m

7

x+m，直線A₂B₂為：y=-

1

7 m

x+

1

m

，其交點滿足方程

y= m 7 x+m y=- 1 7 m x+ 1 m

，由此能求出軌跡C的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線方程為x=ty+

4

3

，聯(lián)立

x2 7 +y2=1 x=ty+ 4 3

，得（t²+7）y2+

8

3

ty-

47

9

=0，由此入手利用已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵定點A₁（-

7

，0），A₂（

7

，0），
動點B₁（0，m），B₂（0，

1

m

），（m∈R且m≠0），
∴直線A₁B₁為y=

m

7

x+m，直線A₂B₂為：y=-

1

7 m

x+

1

m

，
∴其交點滿足方程

y= m 7 x+m y=- 1 7 m x+ 1 m

，
相乘消去m得

x2

7

+y2=1，（x≠-

7

）．
∴軌跡C的方程為

x2

7

+y2=1，（x≠-

7

）．
（2）直線l斜率為0時，交橢圓于左右頂點，不成立，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線方程為x=ty+

4

3

，
與橢圓聯(lián)立

x2 7 +y2=1 x=ty+ 4 3

，得（t²+7）y2+

8

3

ty-

47

9

=0，
以PQ為直徑的圓與y軸相切，
∴|PQ|=x₁+x₂，∴

1+t2

|y1-y2|=t(y1+y2)+

8

3

，
∴（1+t）²[(y1+y2)2-4y1y2]=

64

9

（

7

t2+7

）²，
∴（1+t²）[

64t2

9(t2+7)2

+4•

47

9(t2+7)

]=

64

9

（

7

t2+7

）²，
∴9t⁴+56t²-65=0，解得t²=1或t2=-

65

9

（舍）
∴直線l的方程為y=x-

4

3

或y=-x-

4

3

．

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意直線方程、直線與橢圓位置關(guān)系、圓等知識點的合理運用．