Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F分別是BC，PC的中點，點H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．
（1）求證：EH∥平面PBA；
（2）求三棱錐P-AFH的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據平面ABCD是菱形推斷出AD=AB，進而根據PA=AB，推斷出PA=AD，利用∠B=60°判斷三角形ABC為等邊三角形，同時E為中點進而可推斷出∠BAE=30°，進而推斷出∠EAD=90°，通過PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，判斷出PA⊥AE，則可判定△PAE≌△DAE，推斷出PE=PD，根據EH⊥PD，推斷出H為PD的中點，進而利用FH∥CD∥AB，根據線面平行的判定定理知FH∥平面PAB，根據E，F分別為BC，PC的中點推斷EF∥AB，利用線面平行的判定定理推斷出EF∥平面PAB，進而根據面面平行的判定定理知平面EFH∥平面PAB，最后利用面面平行的性質推斷出EH∥平面PAB．
（2）根據F，H為中點，V_P-AFH=

1

4

V_P-ACD，則三棱錐P-AFH的體積可求．

解答： （1）證明：∵平面ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵PA=AB，
∴PA=AD，
∵AB=BC，∠B=60°，BE=EC，
∴∠BAE=30°，
∴∠EAD=90°，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AE，即∠PAE=90°，
∴△PAE≌△DAE，
∴PE=PD，
∵EH⊥PD，
∴H為PD的中點，
∵FH∥CD∥AB，
∴FH∥平面PAB，
∵E，F分別為BC，PC的中點
∴EF∥AB，
∵AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
∵EF∩FH=H，EF?平面EFH，FH?平面EFH，
∴平面EFH∥平面PAB，
∵EH?平面EFH，
∴EH∥平面PAB．
（2）∵F，H為中點，
∴V_P-AFH=

1

4

V_P-ACD=

1

4

•

1

3

•

1

2

•2•2•sin60°•2=

3

6

點評：本題要考查了線面平行的判定定理，面面平行的判定定理及性質，三棱錐的體積等問題．考查了學生空間觀察能力和邏輯思維的能力．