Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）若，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求整數(shù)的最大值.

（可能要用到的數(shù)據(jù)： ， ， ）

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上的零點(diǎn)有且只有一個(gè)（2）整數(shù)的最大值為6

【解析】試題分析： 求導(dǎo)，由則恒成立，則在上為增函數(shù)，由， ，可以證明在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

已知函數(shù)為增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)在其定義區(qū)間上恒大于等于零，可以求得所滿足的不等式，要使其恒成立則必須，再利用求導(dǎo)，求得函數(shù)的的最小值的取值范圍，即可求得整數(shù)的最大值

解析：（1）因?yàn)?/span>，易知在上為增函數(shù)，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，又， ，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)有且只有一個(gè).

（2）因?yàn)?/span>，由題意在上恒成立，因?yàn)?/span>顯然成立，故只需要在上恒成立.

令，則，

因?yàn)?/span>，

由（1）知在上為增函數(shù)，

故函數(shù)在有唯一的零點(diǎn)記為.

，

，

則， ，

則當(dāng)， ， 在為減函數(shù)，

則當(dāng)， ， 在為增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)， 有最小值 ，

令，

則有最小值 ，

因?yàn)?/span>，則有最小值大約在6.17～6.4之間，故整數(shù)的最大值為6.