Question

已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)．
（1）求的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得  ≥==4．
（2）由題意可得|2+x|+|2-x|≤ 恒成立，由于的最小值為4，故有x的
范圍即為不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集，解絕對(duì)值不等式求得實(shí)數(shù)x的取值范圍．
解答：解：（1）∵≥==4，
故的最小值為4．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，
 即|2+x|+|2-x|≤ 恒成立，故|2+x|+|2-x|不大于 的最小值．（4分）
由（1）可知，的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)（2a+b）（2a-b）≥0時(shí)取等號(hào)，
∴ 的最小值等于4．（8分）
∴x的范圍即為不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集．
解不等式得-2≤x≤2，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為[-2，2]． （10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．