Question

若函數(shù)的定義域為，且滿足為 奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則下列說法中一定正確的有        

（1）的圖像關于直線對稱

（2）的周期為 

（3）  

（4）在上只有一個零點

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：因為，函數(shù)的定義域為，且滿足為 奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以f(－x+1)=－f(x+1) .......(1)；f(x－1）=f(－x－1）.......(2)。

由(1) 得f(x+1)=－f(－x+1) ，故；

由(2) 得f(x－1）=f(－x－1），故的圖像關于直線對稱；（1）正確。由此可知，函數(shù)在要嗎沒零點，要嗎不只一個零點；（4）不正確。

由①令－x+1=t得：f(t)=－f(2－t)…………③；②令－x－1=t得：f(t)= f(－2－t)………④；

由③、④得f(2－t)=－ f(－2－t）由此令－2－t=m得f(4+m) =－f(m)，

所以，f(8+m) =－f(m+4)= f(m)，函數(shù)f(x)的周期為8，（2）不正確。

所以，（3）正確。

綜上知，答案為（1）（3）

考點：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性。

點評：中檔題，本題比較典型，綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，有一定難度，需要靈活運用“代換的方法”，尋求所需條件、結(jié)論。