Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）判斷直線l與圓C的交點個數(shù)；
（Ⅱ）若圓C與直線l交于A，B兩點，求線段AB的長度．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）．
∴消去參數(shù)t得直線l的普通方程為 ，
∵圓C的極坐標方程為ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，
∴由ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y，得圓C的直角坐標方程為x2+y2﹣2y=0．
∵圓心（0，1）在直線l上，
∴直線l與圓C的交點個數(shù)為2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圓心（0，1）在直線l上，
∴AB為圓C的直徑，
∵圓C的直角坐標方程為x2+y2﹣2y=0．
∴圓C的半徑r= =1，∴圓C的直徑為2，∴|AB|=2
【解析】（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程，圓C的極坐標方程為ρ=2sinθ，由ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y，能求出圓C的直角坐標方程，由此得到圓心（0，1）在直線l上，從而能求出直線l與圓C的交點個數(shù)．（Ⅱ）由AB為圓C的直徑，能求出|AB|的值．