Question

如圖，正三棱錐V-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱與底面所成的角等于θ，過(guò)底面一邊作棱錐的截面，當(dāng)截面與底面所成二面角為何值時(shí)，截面面積最��？并求出最小值．

Answer 1

分析：作VO⊥平面ABC，由正三棱錐的幾何特征可得O為△ABC的中心，連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，則∠DAO=θ，連接VD，PD，由線面垂直及面面垂直的判定定理可得BC⊥平面VAD，進(jìn)而PDC平面VAD，∠PDA為截面與底面所成角，根據(jù)正弦定理我們可以得到PD長(zhǎng)的表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最小值，即可得到答案．

解答：解：作VO⊥平面ABC，O為垂足，因?yàn)閂-ABC是正三棱錐，所以O(shè)為△ABC的中心，
連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，則AD⊥BC，∠DAO=θ
連接VD，PD
∴BC⊥VA∴BC⊥平面VAD，進(jìn)而PDC平面VAD…（4分）
∴PD⊥BC∴∠PDA為截面與底面所成角，設(shè)為x，在△PAD中，∠PAD=θ，∠PDA=x，∴∠APD=180°-（θ+π） …（4分）
根據(jù)正弦定理得

PD

sinθ

=

AD

sin[180°-(θ+x)]

PD=

3 2 asinθ

sin(θ+x)

=

3 sinθ

2sin(θ+x)

≥

3

2

asinθ（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+x）=1，θ+x=90°，x=90°-θ的等號(hào)成立，∴PD最小
∴S_△PBC最小面積=

1

2

a•

3

2

asinθ=

3

4

a2sinθ

點(diǎn)評(píng)：本題考查的點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何問(wèn)題，其中根據(jù)正弦定理得到PD長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最小值，是解答本題的關(guān)鍵．