Question

三棱錐P-ABC中，PA=AB=AC，∠BAC=120°，PA⊥平面ABC，點E、F分別為線段PC、BC的中點，
（1）判斷PB與平面AEF的位置關系并說明理由；
（2）求直線PF與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中點E、F分別為線段PC、BC的中點，由三角形中位線定理，可得EF∥PB，進而由線面平行的判定定理，即可得到PB∥平面AEF．
（2）F作FH⊥AC于點H，由已知中PA⊥平面ABC，可得面PAC⊥平面ABC，連接PH，可得∠FPH即直線PF與平面PAC所成的角．解三角形即可得到直線PF與平面PAC所成角的正弦值

解答：解：（1）PB∥平面AEF，（2分）
∵點E、F分別為線段PC、BC的中點，
∴EF為△PBC的中位線，
∴EF∥PB，（4分）
又PB?平面AEF，EF?平面AEF，
∴PB∥平面AEF．（6分）
（2）過F作FH⊥AC于點H，由于PA⊥平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC，
從而FH⊥平面PAC，連接PH，可得∠FPH即直線PF與平面PAC所成的角．（10分）
不妨設PA=AB=AC=1，則在△ABC中，
計算可得AF=

1

2

，FH=

3

4

，
又Rt△PAF中，PF=

PA2+AF2

=

5

2

，
∴在Rt△PFH中，sin∠FPH=

FH

PF

=

3 4

5 2

=

15

10

，
即直線PF與平面PAC所成角的正弦值為

15

10

．（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，（1）中關鍵是判斷出EF∥PB，（2）中關鍵是得到∠FPH即直線PF與平面PAC所成的角．