Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）當(dāng)k=

1

2

時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；
（Ⅱ）當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

分析：方法一：（Ⅰ）先作出線面角，由題意知，OD∥PA，故可轉(zhuǎn)化為求OD與面PBC的夾角問題，由題設(shè)條件知取BC的中點E，連PE，則O在線PE上的垂足必在PE上，設(shè)其為F，則可證得∠ODF所求的線面角，下?lián)�條件求之．
（Ⅱ）若F是重心，則必有BFD三點共線，又D是中點，故定有BC=PB，可求得k=1′．
方法二；建立空間坐標(biāo)系，對（Ⅰ）求出線的方向向量與面的法向量，由公式求得線面角的正弦．
對于（Ⅱ）設(shè)出相應(yīng)點的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式把重心坐標(biāo)用三頂點的坐標(biāo)表示出來，再由線面垂直建立方程求．

解答：解：方法一：
（Ⅰ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，又∵OP⊥平面ABC，∴PA=PB=PC．取BC中點E，連接PE，則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，連接DF，則OF⊥平面PBC∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．
又OD∥PA，∴PA與平面PBC所成的角的大小等于∠ODF，在Rt△ODG中，sin∠ODF=

OF

OD

=

210

30

，
∴PA與平面PBC所成角為arcsin

210

30

．

（Ⅱ）由（I）知，OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影．
∵D是PC的中點，
若點F是△PBC的重心，則B，F(xiàn)，D三點共線，
∴直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD，∵OB⊥PC，∴PC⊥BD，∴PB=BC，即k=1．
反之，當(dāng)k=1時，三棱錐O-PBC為正三棱錐，
∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心．
方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O(shè)為原點，射線OP為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖）．
設(shè)AB=a，則A（

2

2

a，0，0），B（0，

2

2

a，0），C（-

2

2

a，0，0），
設(shè)OP=h，則P（0，0，h）
（Ⅰ）∵k=

1

2

，即PA=2a，∴h=

7 2

a，∴

PA

=（

2

2

a，0，-

7 2

a），
可求得平面PBC的法向量

n

=（1．-1，-

1 7

），∴cos＜

PA

，

n

＞=

PA • n

| PA |•| n |

=

210

30

，
設(shè)PA與平面PBC所成的角為θ，則sinθ=cos＜

PA

，

n

＞=

210

30

，
（Ⅱ）△PBC的重心G（-

2

6

a，

2

6

a，

1

3

h），∴

OG

=（-

2

6

a，

2

6

a，

1

3

h），
∵OG⊥平面PBC，∴

OG

⊥

PB

，
又

PB

=（0，

2

2

a，-h），∴

OG

•

PB

=

1

6

a2-

1

3

h2=0，∴PA=

OA2+h2

=a，即k=1，
反之，當(dāng)k=1時，三棱錐O-PBC為正三棱錐．
∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心．

點評：考查線面角的求法，及由位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程求參數(shù)．考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化的能力．