Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米至75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)，北方城市環(huán)保局從該市市區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本，發(fā)現(xiàn)空氣質(zhì)量為一級(jí)的有4天，為二級(jí)的有10天，超標(biāo)的有6天．
（1）從這20天的日均PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天數(shù)據(jù)，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（2）從這20天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，求抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)不超過2天的概率；
（3）根據(jù)這20天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）從20天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，共有

C

3 20

種情況，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)，共有

C

1 4

•

C

2 16

種情況，由此可求概率；
（Ⅱ）由于“從這20天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，求抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)不超過2天”，與事件“從這20天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，求抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均超標(biāo)”對(duì)立，故P（B）=1-P（C）=1-

C 3 6

C 3 20

，由此可求概率；
（Ⅲ）一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為P=

14

20

=

7

10

，一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)η～B（365，

7

10

），求出期望，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）從莖葉圖可知，空氣質(zhì)量為一級(jí)的有4天，為二級(jí)的有10天，超標(biāo)的有6天，
記“從20天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，
則P(A)=

C 1 4 • C 2 16

C 3 20

=

8

19

；
（Ⅱ）記“從20天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)不超過2天”為事件B，
記“從20天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均超標(biāo)”為事件C，
則P（B）=1-P（C）=1-

C 3 6

C 3 20

=1-

1

57

=

56

57

；
（Ⅲ）20天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的頻率為

4+10

20

=

7

10

，
則一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)η～B（365，

7

10

），
則Eη=365×

7

10

=255.5，
所以估計(jì)一年中有255.5天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．