Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為 ，左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在y軸上，是否存在定點(diǎn)E，使恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見解析．

【解析】

試題（1）由右焦點(diǎn)求得值，由離心率求得值，進(jìn)而，從而確定橢圓方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，借助于根與系數(shù)的關(guān)系將轉(zhuǎn)化為用兩交點(diǎn)坐標(biāo)來表示，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線的斜率和點(diǎn)坐標(biāo)來表示，觀察關(guān)系式得到為定值時需滿足的條件

試題解析：（1）由已知可得，解得，所求的橢圓方程為

（2）設(shè)點(diǎn)且斜率為的直線的方程為

由得，則

解得

設(shè)，則

又，

．

設(shè)存在點(diǎn)，則，，

所以

，

要使得（為常數(shù)），只要，

從而，

即

由（1）得，

代入（2）解得，從而，

故存在定點(diǎn)，使恒為定值．