Question

【題目】已知函數(shù)，，，其中為正實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實數(shù)，使得對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，，使得成立？若存在，求出正實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為與，單調(diào)遞減區(qū)間為與；（2）存在，.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；

（2）由（1）求出的圖象與在區(qū)間上至少有兩個交點的的取值范圍，函數(shù)的值域就是這個范圍的子集．由此可得．

解：（1），.

當(dāng)，即時，或，

當(dāng)，即時，或.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為與，單調(diào)遞減區(qū)間為與.

（2）由（1）可知，函數(shù)有兩個極小值，，，

存在一個極大值大致作出函數(shù)圖像（只反映單調(diào)性）可知：

對于函數(shù)，，假設(shè)存在滿足題意的實數(shù).

當(dāng)時，由，得.

由題意，解得.

所以，實數(shù)的取值范圍是.