已知點
，曲線
上的動點
滿足
,定點
，由曲線外一點
向曲線引切線
，切點為
，且滿足
.
（1）求線段長的最小值；
（2）若以
為圓心所作的圓與曲線有公共點，試求半徑取最小值時圓的標準方程.
（1）
；（2）
.
【解析】
試題分析：本題主要考查圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點乘、平面內(nèi)兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用向量的點乘求出點
的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合找出
，所以
，然后配方法求最值；第二問，利用兩圓的位置關(guān)系列出不等式，用配方法求最值，得到圓心和半徑，寫出圓的標準方程.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)
，則
，
∴
，
即點軌跡(曲線
)方程為
，即曲線是
． 2分
連
∵
為切點，
，由勾股定理有：．
又由已知
，故．
即：
，
化簡得實數(shù)
間滿足的等量關(guān)系為：
，即
．（4分）
∴
＝
，
故當
時，
即線段
長的最小值為
7分
（另法）由點
在直線
：
上．
∴
，即求點
到直線的距離．
∴
（7分）
（Ⅱ）設(shè)的半徑為
，∵與有公共點，的半徑為1，
即
且
． 8分
而
， 9分
故當時，
． 10分
此時
,
． 11分
得半徑取最小值時的標準方程為． 13分
（另法）與有公共點，半徑最小時為與外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1，圓心為過原點與垂直的直線
與的交點
．
．
又
，（10分）
解方程組
，得
．即
，
∴所求標準方程為．（13分）
考點：1.向量的點乘；2.圓的標準方程；3.勾股定理；4.配方法求最值.
科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期5月高考沖刺文科數(shù)學（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知點
為圓
上的動點，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點
的軌跡為曲線
，過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點
，使得
總能被軸平分
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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
已知點
為圓
上的動點，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點
的軌跡為曲線
，過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點
，使得
總能被軸平分
【解析】第一問中設(shè)
為曲線上的任意一點，則點
在圓
上，
∴
，曲線的方程為
第二問中，設(shè)點的坐標為
，直線的方程為
， ………………3分
代入曲線的方程
，可得 
∵
，∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點．
然后設(shè)點,的坐標分別
, 
，則
，
要使被軸平分，只要
得到。
（1）設(shè)為曲線上的任意一點，則點在圓上，
∴，曲線的方程為． ………………2分
（2）設(shè)點的坐標為，直線的方程為， ………………3分
代入曲線的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）
………………6分
設(shè)點,的坐標分別, ，則，
要使被軸平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
當
時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點
，使得
總能被
軸平分
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年遼寧省鐵嶺六校高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學理卷 題型：解答題
已知點
為圓
上的動點，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點
的軌跡為曲線
，過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點。
（1）求曲線的方程；
（2）試證明：在軸上存在定點
，使得
總能被軸平分。
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，一曲線上的動點
到
距離之差為6，則雙曲線的方程為