Question

（2013•臨沂二模）已知x∈R，ω＞0，

u

=（1，sin（ωx+

π

2

）），

v

=（cos²ωx，

3

sinωx）函數(shù)f（x）=

u

•

v

-

1

2

的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依據(jù)題意，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)可得函數(shù)f（x）=

u

•

v

的解析式為sin（2ωx+

π

6

）．再由函數(shù)的最小正周期T=

2π

2ω

=π，求得ω的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=sin（2ωx+

π

6

），根據(jù)x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）依據(jù)題意，函數(shù)f（x）=

u

•

v

=（1，sin（ωx+

π

2

））•（cos²ωx，

3

sinωx）
=cos²ωx+

3

sinωx•cosωx-

1

2

=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx=sin（2ωx+

π

6

）．
∵ω＞0，∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=sin（2ωx+

π

6

），由x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
故有-

1

2

≤sin（2ωx+

π

6

）≤1，
所以函數(shù)y=f（x）在[0，

π

2

]上的值域是[-

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．