Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x+sinx

x

．
（Ⅰ） 判斷f（x）在區(qū)間（0，π）上的增減性并證明之；
（Ⅱ） 若不等式0≤a≤

x-3

+

4-x

對x∈[3，4]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍M；
（Ⅲ）設(shè)0≤x≤π，且a∈M，求證：（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x≥0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，x∈（0，π），設(shè)g（x）=xcos x-sin x，x∈（0，π），求導(dǎo)數(shù)，可得g（x）在（0，π）上為減函數(shù)，從而x∈（0，π）時，g（x）＜0，進而可得f（x）在（0，π）上是減函數(shù)；
（Ⅱ） 先求得（

x-3

+

4-x

）_min=1，根據(jù)0≤a≤

x-3

+

4-x

對一切x∈[3，4]恒成立，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）顯然當a=0，1或x=0，π時，不等式成立．當0＜a＜1且0＜x＜π，原不等式等價于（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sin x．先證明一個更強的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sin x=（1-a）²sin x，再根據(jù)（1-2a+a²）sin x＞（1-2a）sin x，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

sinx

x

+1，∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，x∈（0，π）．
設(shè)g（x）=xcos x-sin x，x∈（0，π），則g′（x）=-xsin x＜0（∵x∈（0，π））．
∴g（x）在（0，π）上為減函數(shù)，又∵g（0）=0，
∴x∈（0，π）時，g（x）＜0，
∴f′（x）=

g(x)

x2

＜0，
∴f（x）在（0，π）上是減函數(shù)．（6分）
（Ⅱ）∵（

x-3

+

4-x

）²=1+2

(x-3)(4-x)

，
∴x=3或4時，（

x-3

+

4-x

）²_min=1，
∴（

x-3

+

4-x

）_min=1．
又0≤a≤

x-3

+

4-x

對一切x∈[3，4]恒成立，
∴0≤a≤1．
（Ⅲ）證明：顯然當a=0，1或x=0，π時，不等式成立．
當0＜a＜1且0＜x＜π，原不等式等價于（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sin x．（10分）
下面證明一個更強的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sin x=（1-a）²sin x�、�
即sin（1-a）x≥（1-a）sin x．�、�
亦即

sin(1-a)x

(1-a)x

≥

sinx

x

．
由（1）知

sinx

x

在（0，π）上是減函數(shù)，
又∵（1-a）x＜x，∴

sin(1-a)x

(1-a)x

＞

sinx

x

．（12分）
∴不等式②成立，從而①成立．
又∵（1-2a+a²）sin x＞（1-2a）sin x，∴（1-a）sin（1-a）x＞（1-2a）sin x．
綜上，∴0≤x≤π且0≤a≤1時，原不等式成立．（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的而運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，有一定的綜合性．