Question

已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bcosC=（2a-c）cosB
（I）求角B；
（II）設(shè)|

AC

|=2，

BA

•

BC

=2，求a+c的值．

Answer 1

分析：（I）由條件利用正弦定理得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，化簡得cosB=

1

2

，再根據(jù)0＜B＜π，求得B的值．
（II）根據(jù)

BA

•

BC

=2 以及 cosB=

1

2

，求得 ac=4．再由由余弦定理求得a²+c²=b²+2accosB=8，化簡可得（a+c）²=a²+c²+2ac=16，從而求得a+c的值．

解答：解：（I）由條件利用正弦定理得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB．…（2分）
又A+B+C=π，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，…（4分），
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．…（5分）
（II）∵

BA

•

BC

=2，∴ca•cosB=2，…（6分）
∵cosB=

1

2

，∴ac=4．…（8分）
由余弦定理：b²=a²+c²+2acosB得：a²+c²=b²+2accosB=8，…（10分）
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=16，
∴a+c=4．…（12分）

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，兩個向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．