Question

求下列圓錐曲線的標準方程
（1）以雙曲線

y2

2

-x2=1的頂點為焦點，離心率e=

2

2

的橢圓
（2）準線為x=

4

3

，且a+c=5的雙曲線
（3）焦點在y軸上，焦點到原點的距離為2的拋物線．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)題意得c=

2

．再由橢圓的離心率算出a=2，從而得b²=a²-c²=2，得到所求橢圓的方程；
（2）根據(jù)雙曲線的準線方程，可得

a2

c

=

4

3

．結合a+c=5解之得a=2且c=3，從而算出b²=c²-a²=5，由此即可得到所求雙曲線的方程；
（3）根據(jù)題意設拋物線的方程為x²=2py或x²=-2py（p＞0），結合題意建立關于p的方程，解出p=4，從而得到所求拋物線的標準方程．

解答：解：（1）∵雙曲線

y2

2

-x2=1的頂點坐標為（0，±

2

），
∴所求橢圓的焦點為（0，±

2

），可得c=

2

…2分
又∵橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

，可得a=

2

c=2，b²=a²-c²=2…3分
∴所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1；…4分
（2）∵雙曲線的準線方程為x=

4

3

，∴

a2

c

=

4

3

，結合a+c=5解得a=2，c=3
∴b²=c²-a²=5  …（2分）
∴所求雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1…（4分）
（3）根據(jù)題意，設拋物線的方程為x²=2py或x²=-2py（p＞0）
∵拋物線的焦點坐標為（0，±2），
∴

1

2

p=2，可得p=4…（2分）
∴所求拋物線方程為x²=8y或x²=-8y…（4分）

點評：本題給出圓錐曲線滿足的條件，求它們的標準方程．著重考查了橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．