Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，點(diǎn)M（4，1）是橢圓上一定點(diǎn)，直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求△OAB面積的最大值．（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，知a=2k，c=

3

k，b²=k²，由橢圓過(guò)點(diǎn)M（4，1），解得k²=5，由此能求出橢圓方程．
（2）將y=x+m代入

x2

20

+

y 2

5

=1，并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，由△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，能求出m的取值范圍．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-20

5

，k=1，|AB|=

2( 64m2 25 - 16m2-80 5 )

=

4 2

5

-m2+25

，O到直線AB的距離d=

|m|

2

，由此能求出△OAB面積的最大值．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，
∴a=2k，c=

3

k，b²=k²，
∵橢圓過(guò)點(diǎn)M（4，1），
∴

16

4k2

+

1

k2

=1，解得k²=5，
故橢圓方程為

x2

20

+

y 2

5

=1．
（2）將y=x+m代入

x2

20

+

y 2

5

=1，并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，
解得：-5＜m＜5．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-20

5

，k=1，
∴|AB|=

2( 64m2 25 - 16m2-80 5 )

=

4 2

5

-m2+25

，
∵O到直線AB的距離d=

|m|

2

，
∴△OAB面積S=

1

2

|AB|•d=

2

5

-m2+25

•|m|≤5．
當(dāng)且僅當(dāng)m=±5時(shí)，取最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．