Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1
（1）過(guò)橢圓上點(diǎn)P作x軸的垂線PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PD中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若直線x-y+m=0與已知橢圓交于A、B兩點(diǎn)，R（0，1），且|RA|=|RB|，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）確定P、M坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)P在橢圓上，即可求得線段PD中點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理確定AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之間的關(guān)系，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)PD中點(diǎn)M（x，y），P（x′，y′），依題意x=x′，y=

y′

2

∴x′=x，y′=2y
又點(diǎn)P在

x2

4

+y2=1上，∴

x′2

4

+y′2=1，即

x2

4

+4y2=1
∴線段PD的中點(diǎn)M軌跡方程為

x2

4

+4y2=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線x-y+m=0與已知橢圓方程聯(lián)立，消去y可得

5

4

x2+2mx+m2-1=0
∴x₁+x₂=-

8m

5

∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

2m

5

∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-

4m

5

，

m

5

）
∵R（0，1），且|RA|=|RB|，
∴

m 5 -1

- 4 5 m

×1=-1
∴m=-

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．