Question

【題目】平面上有個(gè)點(diǎn)，將每一個(gè)點(diǎn)染上紅色或藍(lán)色.從這個(gè)點(diǎn)中，任取個(gè)點(diǎn)，記個(gè)點(diǎn)顏色相同的所有不同取法總數(shù)為.

（1）若，求的最小值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，共有個(gè)點(diǎn)，對(duì)染紅色的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分類討論，即得T的最小值為2.(2) 首先證明：任意，，，有. 設(shè)個(gè)點(diǎn)中含有個(gè)染紅色的點(diǎn)，接著證明①時(shí)，②時(shí)，③時(shí)，.

解：（1）當(dāng)時(shí)，共有個(gè)點(diǎn)，

若染紅色的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)或個(gè)，則；

若染紅色的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)或個(gè)，則；

若染紅色的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)或個(gè)，則；

若染紅色的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則；

因此的最小值為.

（2）首先證明：任意，，，有.

證明：因此，所以.

設(shè)個(gè)點(diǎn)中含有個(gè)染紅色的點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，

，

因?yàn)?/span>，所以，

于是.

②當(dāng)時(shí)，

，

同上可得.

③當(dāng)時(shí)，

，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，

，

顯然，

當(dāng)即時(shí)，，

當(dāng)即時(shí)，，

即；；

因此，即.

綜上，當(dāng)時(shí)，.