Question

（2012•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=

x+a

x2+3a2

（a≠0，a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函數(shù)，是（1，+∞）上的減函數(shù)，對(duì)任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，等價(jià)于f（x）_max-f（x）_min≤m求實(shí)數(shù)m的最小值．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

-(x-a)(x+3a)

(x2+3a2)2

．
令f′（x）=0，解得x=a或x=-3a．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x），f（x）隨著x的變化如下表

x	（-∞，-3a）	-3a	（-3a，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-3a，a），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-3a），（a，+∞）．
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x），f（x）隨著x的變化如下表

x	（-∞，a）	a	（a，-3a）	-3a	（-3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（a，-3a），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，a），（-3a，+∞）．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函數(shù)，是（1，+∞）上的減函數(shù)．
又當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)=

x+1

x2+3

＞0．
所以f（x）在[-3，+∞）上的最小值為f(-3)=-

1

6

，最大值為f(1)=

1

2

．
所以對(duì)任意x₁，x₂∈[-3，+∞），f(x1)-f(x2)≤f(1)-f(-3)=

2

3

．
所以對(duì)任意x₁，x₂∈[-3，+∞），使f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立的實(shí)數(shù)m的最小值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．