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        1. 【題目】已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F(xiàn)分別是PB,PD的中點.

          (I)求證:PB∥平面FAC;

          (II)求三棱錐P-EAD的體積;

          (III)求證:平面EAD⊥平面FAC.

          【答案】(1)見解析(2)(3)見解析

          【解析】分析:(1)連接BD,與AC交于點O,連接OF,推導出OF∥PB,由此能證明PB//平面FAC;

          (2)由PA⊥平面ABCD,為棱錐的高,由,,由此能求出結果;

          (3)推導出,從而平面進而平面,由此能證明平面平面.

          詳解:(I)連接BD,與AC交于點O,連接OF,

          在△PBD中,O,F(xiàn)分別是BD,PD中點,

          所以OF∥PB,

          又因為OF平面FAC, PB平面FAC,

          所以PB//平面FAC,

          (II)法1:因為PA⊥平面ABCD,AB,AD平面ABCD,

          所以PA⊥AB,PA⊥AD,

          又因為AB⊥AD,,PA,AB平面PAB,

          所以AD⊥平面PAB,

          在直角△PAB中,PA=AB=2,EPB中點,

          所以,

          所以三棱錐P-EAD的體積為

          2:因為PA⊥平面ABCD,所以PA為棱錐P-ABD的高.

          因為PA=AB=2,底面ABCD是正方形,

          所以,

          因為EPB中點,所以,

          所以

          (III)證明:

          因為AD⊥平面PAB,PB平面PAB,

          所以AD⊥PB,

          在等腰直角△PAB中,AE⊥PB,

          ,AE,AD平面EAD,

          所以PB⊥平面EAD,

          OF∥PB,

          所以OF⊥平面EAD,

          OF平面FAC,

          所以平面EAD⊥平面FAC.

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