Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，（a＞0）
（Ⅰ）若設(shè)F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)圖象上任意點(diǎn)處的切線的斜率k≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)的圖象與的圖象恰好有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由F'（x）＞0，可求得F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）由于H（x）=lnx+，H′（x）=，可求得2a≥-x²+x=，于是可求得a的取值范圍．
（Ⅲ）依題意，m=有三個(gè)不同的根，構(gòu)造函數(shù)G（x）=，通過求導(dǎo)數(shù)，求得G（x）的極大值G（1）的值，即可得到m的范圍．
解答：解：（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+（x＞0），F(xiàn)′（x）=
∵a＞0，由F'（x）＞0，得x＞2a，
∴F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2a，+∞）．-----------------------（3分）
（II）H（x）=f（x）+=lnx+，H′（x）=，----------------------（5分）
∵2a≥-x²+x，又x²-x≤，2a≥-，a≥．
所以實(shí)數(shù)a的最小值為．--------------------------（8分）
（III） 若p（x）=的圖象與q（x）=的圖象恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，
即有三個(gè)不同的根，
亦即m=有三個(gè)不同的根．---------------------（10分）
令G（x）=，
則G′（x）=-x²-2x=．
當(dāng)x＜0時(shí)G'（x）＜0，所以G（x）單調(diào)遞減，且當(dāng)x→0時(shí)，G（x）→-∞，當(dāng)x→-∞時(shí)，G（x）→+∞
當(dāng)0＜x＜1時(shí)G'（x）＞0；
∴G（x）單調(diào)遞增，且當(dāng)x→0時(shí)，G（x）→-∞，
當(dāng)x＞1時(shí)，G'（x）＜0；
∴G（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，G（x）的極大值G（1）=-．
所以，當(dāng) 時(shí)，方程有三個(gè)不同的解．--------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，突出考查構(gòu)造函數(shù)與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及綜合分析與運(yùn)算的能力，屬于難題．