Question

某旅游公司為3個(gè)旅游團(tuán)提供A，B，C，D四條線路，每個(gè)旅游團(tuán)任選其中一條，每條線路被選的可能性相同．
（1）求3個(gè)旅游團(tuán)選擇3條不同線路的概率；
（2）求恰有2條線路沒(méi)有被選擇的概率；
（3）求選擇A線路旅游團(tuán)數(shù)X的分布列及均值EX．

Answer 1

分析：（1）由分步計(jì)數(shù)原理，3個(gè)旅游團(tuán)線路選擇方式共有4³=64種，記“3個(gè)旅游團(tuán)選擇3條不同線路”為事件A，則n(A)=

C

3 4

A

3 3

=24種，由此求得3個(gè)旅游團(tuán)選擇3條不同線路的概率．
（2）記“恰有2條線路沒(méi)有被選擇”為事件B，則n(B)=

C

2 4

C

2 3

A

2 2

=36，由此求得恰有2條線路沒(méi)有被選擇的概率為

9

16

．
（3）由題設(shè)知，X=0，1，2，3，再求出X取每一個(gè)值的概率，即可得到X的分布列及均值EX．

解答：解：（1）由分步計(jì)數(shù)原理，3個(gè)旅游團(tuán)線路選擇方式共有n（Ω）=4³=64種，
記“3個(gè)旅游團(tuán)選擇3條不同線路”為事件A，則n(A)=

C

3 4

A

3 3

=24，…（3分）
于是P(A)=

n(A)

n(Ω)

=

24

64

=

3

8

，即3個(gè)旅游團(tuán)選擇3條不同線路的概率為

3

8

．
（2）記“恰有2條線路沒(méi)有被選擇”為事件B，則n(B)=

C

2 4

C

2 3

A

2 2

=36，…（6分）
于是P(B)=

n(B)

n(Ω)

=

36

64

=

9

16

，即恰有2條線路沒(méi)有被選擇的概率為

9

16

．
（3）由題設(shè)知，X=0，1，2，3
其中P(X=0)=

33

43

=

27

64

，P(X=1)=

C 1 3 •32

43

=

27

64

，…（10分）
P(X=2)=

C 2 3 •3

43

=

9

64

，P(X=3)=

C 3 3

43

=

1

64

，
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（12分）
由此求得選擇A線路旅游團(tuán)數(shù)X的均值 EX=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

═

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，其中，求出選擇A線路旅游團(tuán)數(shù)X取每一個(gè)值的概率，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．