Question

【題目】在四棱柱中，底面ABCD是菱形，且.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）要證明面面垂直，先證明線面垂直，即線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，因為底面菱形，所以對角線,易得,所以,這樣就證明了直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這樣線面垂直；（2）根據(jù)（1）的證明，可以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到兩個平面的法向量，根據(jù)公式，得到二面角的大小.

試題解析：（1）因為，所以和均為正三角形，于是.設(shè)AC與BD的交點為O，則，又ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

而，所以BD⊥平面，故平面平面.

（2）由，及知，又由，

得，故，

于是，從而，結(jié)合得

底面ABCD.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，

，

設(shè)平面的一個法向量為，由得

令x=1，得，平面的一個法向量為，

設(shè)平面與平面所成角為，則，故.