Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1+x

1-x

e-ax
（1）寫出定義域及f′（x）的解析式
（2）設(shè)a＞0，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分式函數(shù)的分母不等于0可求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)分式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可求出f′（x）的解析式；
（2）討論a與2的大小，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號可得函數(shù)的單調(diào)性；
（3）討論a與0和2的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，然后判定是否滿足對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，從而求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵x-1≠0∴f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），
f′(x)=

(e-ax-ae-ax)(1-x)+(1+x)e-ax

(1-x)2

=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax（3分）
（2）①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f'（x）≥0，所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上為增函數(shù)（4分）
②當(dāng)a＞2，由f′（x）＞0得ax2+2-a＞0，x＞

a-2 a

或x＜-

a-2 a

∴f(x)在(-∞，-

a-2 a

)，(

a-2 a

，1)，(1，+∞)上為增函數(shù)，在(-

a-2 a

，

a-2 a

)上是減函數(shù)（7分）
（2）①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由（1）知，對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞f（0）=1（8分）
②當(dāng)a＞2時(shí)，由（1）知，f（x）在(0，

a-2 a

)上是減函數(shù)，在(

a-2 a ，1

)上是增函數(shù)，
取x0=

1

2

a-2 a

∈(0，1)，則f（x₀）＜f（0）=1（10分）
③當(dāng)a≤0時(shí)，對任意x∈（0，1），恒有

1+x

1-x

＞1且e^-ax≥1，得f(x)=

1+x

1-x

e-ax＞1（11分）
綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈（-∞，2]時(shí)，若對任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1成立．     （12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的定義域及其導(dǎo)函數(shù)的求法，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．