Question

已知圓C：x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，求證：
（1）無論m為何值，圓心都在同一直線l上；
（2）任一條平行于l的直線，若與圓相交，則被各圓所截得的弦長(zhǎng)都相等．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)，再消去參數(shù)，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)出與直線?平行的直線的方程：x-3y+n=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到此直線的距離整理后發(fā)現(xiàn)不含有參數(shù)m故可得結(jié)論．

解答：證明：（1）圓的方程可化為：（x-3m）²+（y-m+1）²=25，圓心為（3m，m-1），r=5，
設(shè)x=3m，y=m-1，則x=3（y+1），即x-3y-3=0
∴無論m為何值，圓心都在同一直線l上，方程為x-3y-3=0；
（2）設(shè)直線x-3y+n=0
∴d=

|3m-3(m-1)+n|

10

=

|3+n|

10

∴弦長(zhǎng)=2

25-d2

=2

25- (3+n)2 10

與m無關(guān)
∴任一條平行于l的直線，若與圓相交，則被各圓所截得的弦長(zhǎng)都相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．