Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）在曲線上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P可作三條直線與曲線相切？若存在，求出其橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；（2）存在，.

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后按分類討論；

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，同時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得即（*），問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（*）存在三個(gè)不同實(shí)根．然后用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)．

（1）由題意得：

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

又的零點(diǎn)分別為，0，

所以當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，．

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，切點(diǎn)設(shè)為

所以即（*）

故問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（*）存在三個(gè)不同實(shí)根．

令，則

當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，不合題意；

當(dāng)時(shí)，易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

從而，即

解得：

當(dāng)時(shí)，易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

從而，即

解得：

綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)的取值范圍為．