Question

（2013•許昌二模）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=1，AD=

3

，AB⊥BC，CD⊥BD，如圖1，把△ABD沿BD翻折，使得平面A'BD⊥平面BCD，如圖2．
（Ⅰ）求證：CD⊥A'B；
（Ⅱ）求三棱錐A'-BDC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平面A′BD⊥平面BCD，根據(jù)面面垂直的性質，可得CD⊥平面A′BD，利用線面垂直的性質，可得CD⊥A′B；
（Ⅱ）作出三棱錐的高，利用三棱錐的體積公式，可求三棱錐A'-BDC的體積．

解答：（Ⅰ）證明：∵平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面A′BD，
∵AB?平面A′BD
∴CD⊥A′B；
（Ⅱ）解：如圖1，在Rt△ABD中，BD=

AB2+AD2

=2
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°
在Rt△BDC中，DC=BDtan30°=

2 3

3

∴S_△BDC=

1

2

BD•DC=

2 3

3

如圖2，在Rt△A′BD中，過點A′作A′E⊥BD于E，則A′E⊥平面BCD
∵A′E=

A′B•A′D

BD

=

3

2

∴V_A′-BDC=

1

3

S△BDC•A′E=

1

3

•

2 3

3

•

3

2

=

1

3

點評：本題考查面面垂直、線面垂直的性質，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，掌握面面垂直、線面垂直的性質是解題的關鍵．