Question

已知射線l₁：y=4x（x≥0）和點(diǎn)P（6，4），試在l₁上求一點(diǎn)Q使得PQ所在直線l和l₁以及直線y=0在第一象限圍成的面積達(dá)到最小值，并寫出此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，寫出直線PQ的方程，求出直線在x軸上的截距，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算面積取最大值時(shí)的a的值，則直線方程可求．

解答：解：設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（a，4a），PQ與x軸正半軸相交于M點(diǎn)．
由題意可得a＞1，否則不能圍成一個(gè)三角形．
PQ所在的直線方程為：y-4=

4a-4

a-6

(x-6)，
令y=0，x=

5a

a-1

，
∵a＞1，∴S△OQM=

1

2

×4a×

5a

a-1

，
則S△OQM=

10a2

a-1

=10(

a2-2a+1+2a-2+1

a-1

)=10[(a-1)+

1

a-1

+2]≥10×4，
當(dāng)且僅當(dāng)（a-1）²=1取等號(hào)．所以a=2時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）；
PQ直線方程為：x+y-10=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的圖象特征與傾斜角和斜率的關(guān)系，訓(xùn)練了二次函數(shù)取得最值得條件，解答此題的關(guān)鍵是正確列出三角形面積的表達(dá)式，是中檔題．