Question

已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線l：y＝x－被圓M所截的弦長為，且圓心M在直線l的下方.

(1)求圓M的方程；

(2)設A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圓M是△ABC的內(nèi)切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值.

Answer 1

(1)設圓心M(a,0)，由已知得M到l：8x－6y－3＝0的距離為＝，∴＝，

又∵M在l的下方，∴8a－3>0，∴8a－3＝5，a＝1.

故圓的方程為(x－1)²＋y²＝1.

(2)由題設AC的斜率為k₁，BC的斜率為k₂，則直線AC的方程為y＝k₁x＋t，直線BC的方程為y＝k₂x＋t＋6.

由方程組，得C點的橫坐標為x_c＝.

∵|AB|＝t＋6－t＝6，

∴S＝||·6＝，

由于圓M與AC相切，所以1＝，∴k₁＝；

同理，k₂＝，

∴k₁－k₂＝，

∴S＝＝6(1－)，∵－5≤t≤－2.

∴－2≤t＋3≤1，∴－8≤t²＋6t＋1≤－4，

∴S_max＝6×(1＋)＝，S_min＝6×(1＋)＝，

∴△ABC的面積S的最大值為，最小值為.