Question

【題目】已知橢圓過點 ，且離心率為.設為橢圓的左、右頂點，P為橢圓上異于的一點，直線分別與直線相交于兩點，且直線與橢圓交于另一點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）求證：直線與的斜率之積為定值；

（Ⅲ）判斷三點是否共線，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）三點共線

【解析】

（Ⅰ）根據已知條件列a、b、c的方程組，求a、b、c的值，可得橢圓標準方程（Ⅱ）設點P坐標為（x0，y0），將點P的坐標代入橢圓方程可得x0與y0的等量關系，然后利用斜率公式，結合等量關系可證出結論；（Ⅲ）設直線AP的方程為y＝k（x﹣2）（k≠0），得直線BP方程，與直線x＝2聯立，分別求點M、N坐標，然后求直線MN斜率，寫直線HM的方程，并與橢圓方程聯立，利用韋達定理可求點H坐標，計算AH和AN的斜率，利用這兩直線斜率相等來證明結論成立．

解：（Ⅰ）根據題意可知解得

所以橢圓的方程.

（Ⅱ）根據題意，直線的斜率都存在且不為零.

設，則 .

則.

因為，所以.

所以.

所以直線與的斜率之積為定值.

(III)三點共線.證明如下：

設直線的方程為，則直線的方程為.

所以，,.

設直線，

聯立方程組消去整理得，.

設，則所以,.

所以.

因為，,

,.

所以，所以三點共線.