Question

【題目】已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為圓的圓心．

(1)求橢圓的方程；

(2)若M，N為橢圓上的兩個動點，直線OM，ON的斜率分別為，當時，△MON的面積是否為定值?若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）為定值，詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)菱形的面積和焦點建立方程組，解方程組可得；

(2)先求弦長和三角形的高，再求面積的表達式，求出定值.

解：（1）由題意可知，，

圓的圓心為，所以，

因此，聯(lián)立，解之，

故橢圓的方程為.

（2）設，當直線的斜率存在時，設方程為，

由，消可得，

則有，即，

，

所以

.

點到直線的距離，

所以.

又因為，

所以，

化簡可得，滿足，

代入，

當直線的斜率不存在時，由于，考慮到關于軸對稱，不妨設，則點的坐標分別為,

此時，

綜上，的面積為定值.

法二：設，

由題意，可得，

所以，

而

因為，所以，故為定值.