Question

甲、乙、丙、丁四個(gè)人進(jìn)行傳球練習(xí)，每次球從一個(gè)人的手中傳入其余三個(gè)人中的任意一個(gè)人的手中．如果由甲開始作第1次傳球，經(jīng)過n次傳球后，球仍在甲手中的所有不同的傳球種數(shù)共有a_n種．
（如，第一次傳球模型分析得a₁=0．）
（1）求 a₂，a₃的值；
（2）寫出 a_n+1與 a_n的關(guān)系式（不必證明），并求 a_n=f（n）的解析式；
（3）求 的最大值．

Answer 1

解：（1）可畫出示意圖：

可得經(jīng)過兩次傳球回到甲手中的所有不同種數(shù)為3；經(jīng)過3次傳球回到甲手中的所有不同種數(shù)為6．
因此可得：得 a₂=3，a₃=6．
（2）依題意有 a₁=0，且 a_n+1+（n=1，2，3，…）．
將 a_n+1+變形為 ，
從而數(shù)列 {}是首項(xiàng)為，公比為-1的等比數(shù)列．
∴，可得 （n=1，2，3，…）．
（3）①當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，
，為關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)
∴當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，隨n的增大而減小，從而，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，的最大值是 ．
②當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，
，為關(guān)于n的單調(diào)增減函數(shù)
∴當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，隨n的增大而增大，且 ．
綜上，的最大值是 ．
分析：（1）通過畫圖，作出符合題意的示意圖，加以總結(jié)即可得到 a₂，a₃的值；
（2）計(jì)算前幾項(xiàng)，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a_n+1+（n=1，2，3，…）．利用待定系數(shù)法，得到數(shù)列 {}是首項(xiàng)為-，公比為-1的等比數(shù)列．最后借助于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可算出 a_n=f（n）的解析式；
（3）分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況，討論的單調(diào)性并結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理，即可得到當(dāng)n=2時(shí)，為 的最大值．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)）的應(yīng)用、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及用等比數(shù)列知識解決相應(yīng)的問題等知識點(diǎn)，屬于中檔題．