Question

已知函數(shù)f(x)=

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x3+ax2+(2a-1)x．
（1）若f'（-3）=0，求a的值；
（2）若a＞1，求函數(shù)發(fā)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f'（x）是偶函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)A(1，m)(m≠-

2

3

)可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），解方程f'（-3）=0，即可求得結(jié)論；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），根據(jù)a＞1，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）設(shè)出曲線過(guò)點(diǎn)P切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到（1）求出的導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫(xiě)出切線的方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可；

解答：解：f′（x）=x²+2ax+2a-1
（1）∵f'（-3）=0，∴9-6a+2a-1=0，
解得：a=2；
（2）f'（x）=（x+1）（x+2a-1），
∵a＞1，由f'（x）=（x+1）（x+2a-1）＞0
得x＜1-2a或x＞-1，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞）；
由f'（x）=（x+1）（x+2a-1）＜0得1-2a＜x＜-1，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1-2a，-1）；
且x=1-2a是極大值點(diǎn)，x=-1是極小值點(diǎn)；
（3）∵g（x）=f'（x）是偶函數(shù)，
∴a=0
∴f(x)=

1

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x3 -x，設(shè)曲線線 過(guò)點(diǎn)A(1，m)(m≠-

2

3

)的切線相切于點(diǎn)P（x₀，

1

3

x03-x0 ），
則切線的斜率 k=x₀²-1，
∴切線方程為y-（

1

3

x03-x0）═（x₀²-1）（x-x₀），
∵點(diǎn)A（1，m）在切線上，
∴m-（

1

3

x03-x0）=（x₀²-1）（1-x₀），
解得m=-

2

3

x03+x02-1
令h（x）=-

2

3

x 3+x 2-1，
則h′（x）=-2x²+2x=2x（1-x）=0，解得x=0，x=1當(dāng)x=0時(shí)，
h（x）去極小值-1，當(dāng)x=1時(shí)，h（x）去極大值-

2

3

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是-1＜m＜-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬于難題．