Question

若關(guān)于x的方程4^x+2^xm+5=0至少有一個實根在區(qū)間[1，2]內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：換元，令t=2^x，則關(guān)于 t 方程 t²+m t+5=0 至少有一個實根在區(qū)間在[2，4]內(nèi)，令f（t）=t²+m t+5，則△=m²-20≥0，且 f（2）•f（4）＜0，可解出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：令x∈[1，2]，則t=2^x∈[2，4]，∵關(guān)于x的方程4^x+2^xm+5=0至少有一個實根在區(qū)間[1，2]內(nèi)，
∴關(guān)于 t 方程 t²+m t+5=0 至少有一個實根在區(qū)間在[2，4]內(nèi)，令f（t）=t²+m t+5，
則△=m²-20≥0，且 f（2）•f（4）＜0，∴-

21

4

≤m≤-2

5

，
∴實數(shù)m的取值范圍是[-

21

4

，-2

5

]，
故答案為[-

21

4

，-2

5

]．

點評：本題考查方程根存在的條件，方程的根即對應函數(shù)的零點，體現(xiàn)換元的數(shù)學思想，注意換元過程中變量范圍的改變．