Question

已知函數(shù)f(x)=

1+2x

1-2x

+log2

1+x

1-x

  （1）判別函數(shù)的奇偶性，說明理由；（2）解不等式f(x)-

1+2x

1-2x

≤2．

Answer 1

分析：（1）先由真數(shù)大于0，解不等式得出函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的定義只要判斷f（x）和f（-x）的關(guān)系即可，也可計(jì)算f（x）+f（-x）=0進(jìn)行判斷．
（2）由不等式f(x)-

1+2x

1-2x

≤2，即 log2

1+x

1-x

≤2．最后利用對數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為分式不等式求解即得．

解答：解：（1）定義域

1-2x≠0 1+x 1-x ＞0

（2分），
x∈（-1，0）∪（0，1）（1分）（直接寫出得3分）
f(-x)=

1+2-x

1-2-x

+log2

1-x

1+x

=

2x+1

2x-1

-log2

1+x

1-x

=-f(x)（2分）
所以f（x）是奇函數(shù)（1分）
（2）log2

1+x

1-x

≤2，（1分）
0＜

1+x

1-x

≤4，（1分）
∴x≤

3

5

或x＞1（2分）
最后不等式的解集是(-1，0)∪(0，

3

5

]（2分）

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性的判斷和證明，難度不大，解題時(shí)要注意解對數(shù)函數(shù)的不等式時(shí)，不要忘記其真數(shù)為正數(shù)這個(gè)前提條件．