Question

杭州市教育局開展支教活動(dòng)，有五位高級(jí)教師被隨機(jī)分配到A，B，C三個(gè)所不同的學(xué)校，且每所學(xué)校至少分配一名教師．
（1）求甲、乙兩位教師同時(shí)分配到一個(gè)中學(xué)的概率；
（2）設(shè)隨機(jī)變量X為這五位教師分到A中學(xué)的人數(shù)，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件總數(shù)

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

，滿足條件的事件是甲乙兩位教師同時(shí)分到一個(gè)中學(xué)有C₃²A₃³+C₃¹A₃³種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（2）根據(jù)題意，得到變量的可能取值，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量的概率，根據(jù)變量和概率的值寫出分布列，做出期望值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
設(shè)甲乙兩位教師同時(shí)分到一個(gè)中學(xué)為事件A，五位高級(jí)教師被隨機(jī)分配到A，B，C三個(gè)所不同的學(xué)校，且每所學(xué)校至少分配一名教師，先把五位高級(jí)教師分組2，2，1；或3，1，1．基本事件總數(shù)

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

=150，
因甲、乙兩位教師同時(shí)分配到一個(gè)中學(xué)，也分為兩類，一類是甲、乙兩位教師同時(shí)分配到一個(gè)中學(xué)，再分配另一位教師到這個(gè)中學(xué)，一類是甲、乙兩位教師同時(shí)分配到一個(gè)中學(xué)后不再分配其它老師到這個(gè)中學(xué)，滿足條件的事件數(shù)C₃²A₃³+C₃¹A₃³=36
∴P（A）=

36

150

=

6

25

（2）由題知X取值1，2，3．則
P（X=1）=（

C

1 5

C

2 4

C

3 2

+

C

3 4

A

2 2

）÷（

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

）=

7

15

，
P（X=2）=

2

5

，
P（X=3）=（

C

2 5

A

3 2

）÷（

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

）=

2

15

．
所以X的分布列為

X	1	2	3
P	7 15	2 5	2 15

E（X）=1×

7

15

+2×

2

5

+3×

2

15

=

5

3

．…（14分）

點(diǎn)評：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．