Question

過拋物線y²=4x的頂點O作相互垂直的弦OA、OB,求拋物線頂點O在AB上的影射M的軌跡方程.

Answer 1

解:設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),代入拋物線方程并作差得,

∴直線AB的方程l_AB:y-y₁=(x-x₁),

注意到y₁²=4x₁,y₁y₂=-16(∵k_OA?k_OB=-1,

∴,

即得(y₁+y₂)y+16=4x.

又直線OM的方程為,

由x²+y²-4x=0(x≠0)即為所求的軌跡方程.

啟示:由(*)消去y₁+y₂所得方程為所求,是因為,由(*)解出x、y(用y₁+y₂作已知),得到的是點M的坐標,而點M的坐標的關(guān)系式(即消去y₁+y₂得x、y的關(guān)系)為動點M的軌跡方程,顯然這樣做與直接過渡其關(guān)系式是一樣的.另外本題還可以設(shè)OA的斜率為k,類似于上面的方法求M的軌跡方程.