Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|—|x－2|的最大值為a.

(1)求函數(shù)f(x)的值域；

(2)若函數(shù)f(x)的最大值為a；當(dāng) p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a時(shí)，求證：p2＋q2＋r2≥3。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)利用絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)可求；

(2)先求出的值，結(jié)合基本不等式可證.

(1)因?yàn)?/span>,所以f(x)的最大值等于3，所以a＝3，值域?yàn)?/span> ；

(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，

∴(p＋q＋r)2＝p2＋q2＋r2＋2(pq＋pr＋qr)＝9

又2pq＋2pr＋2qr≤2(p2＋q2＋r2)

當(dāng)且僅當(dāng)p＝q＝r時(shí)，等號(hào)成立．

因此3(p2＋q2＋r2)≥9從而p2＋q2＋r2≥3.