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        1. (2010•武漢模擬)已知拋物線C:y=
          1
          2
          x2
          與直線l:y=kx-1沒有公共點,設點P為直線l上的動點,過P作拋物線C的兩條切線,A,B為切點.
          (1)證明:直線AB恒過定點Q;
          (2)若點P與(1)中的定點Q的連線交拋物線C于M,N兩點,證明:
          |PM|
          |PN|
          =
          |QM|
          |QN|
          分析:(1)先設出切點坐標A(x1,y1),B(x2,y2),利用導數(shù)的幾何意義求以A、B為切點的切線方程,再設出P(x0,kx0-1),代入兩條切線方程,得kx0-1=x0x1-y1.kx0-1=x0x2-y2.故直線AB的方程為kx0-1=x0x-y,過定點(k,1)
          (2)先寫出直線PQ的方程y=
          kx0-2
          x0-k
          (x-k)+1,代入拋物線方程y=
          1
          2
          x2
          ,得關(guān)于x的一元二次方程,為利用韋達定理準備條件,再設M(x3,y3),N(x4,y4),要證
          |PM|
          |PN|
          =
          |QM|
          |QN|
          ,只需證明
          x3-x0
          x4-x0
          =
          k-x3
          x4-k
          ,即2x3x4-(k+x0)(x3+x4)+2kx0=0,最后利用韋達定理將x3+x4和x3x4代入即可得證
          解答:解:(1)設A(x1,y1),則y1=
          1
          2
          x12

          y=
          1
          2
          x2
          得y′=x,所以y′|x=x1=x1
          于是拋物線C在A點處的切線方程為y-y1=x1(x-x1),即y=x1x-y1
          設P(x0,kx0-1),則有kx0-1=x0x1-y1.設B(x2,y2),同理有kx0-1=x0x2-y2
          所以AB的方程為kx0-1=x0x-y,即x0(x-k)-(y-1)=0,所以直線AB恒過定點Q(k,1).
          (2)PQ的方程為y=
          kx0-2
          x0-k
          (x-k)+1,與拋物線方程y=
          1
          2
          x2
          聯(lián)立,消去y,得
          x2-
          2kx0-4
          x0-k
          x+
          2kx0-4
          x0-k
          =0
          設M(x3,y3),N(x4,y4),則x3+x4=
          2kx0-4
          x0-k
          ,x3x4=
          (2k2-2)x0-2k
          x0-k

          要證
          |PM|
          |PN|
          =
          |QM|
          |QN|
          ,只需證明
          x3-x0
          x4-x0
          =
          k-x3
          x4-k
          ,即2x3x4-(k+x0)(x3+x4)+2kx0=0②
          由①知,②式
          左邊=
          2(2k2-2)x0-4k
          x0-k
          -(x+x0
          2kx0-4
          x0-k
          +2kx0
          =
          2(2k2-2)x0-4k-(k+x0)(2kx0-4)+2kx0(x0-k)
          x0-k
          =0.
          故②式成立,從而結(jié)論成立.
          點評:本題考察了拋物線的切線方程,直線與拋物線相交的性質(zhì),解題時要特別注意韋達定理在解題時的重要運用,還要有較強的運算推理能力
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          1
          an
          }
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          3
          5
          ,-
          π
          2
          <α<0,則tanα
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