Question

若函數(shù)f（x）=

kx+5

kx2+4kx+3

定義域為一切實數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為

[0，

3

4

）

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=

kx+5

kx2+4kx+3

的定義域為R可轉(zhuǎn)化為?x∈R，kx²+4kx+3≠0．令w=kx²+4kx+3，對k進行分類討論：①k=0，顯然符合題意②k＞0，要想使二次函數(shù)w=kx²+4kx+3≠0，只需△＜0，③k＜0，要想使二次函數(shù)w=kx²+4kx+3≠0，只需△＜0，最后求出實數(shù)k的取值范圍即可．

解答：解：函數(shù)f（x）=

kx+5

kx2+4kx+3

定義域為一切實數(shù)，可轉(zhuǎn)化為：
?x∈R，kx²+4kx+3≠0．令w=kx²+4kx+3，下面分三類求解：
一類：當k=0，由于3≠0，顯然符合題意
二類：當k＞0，要想使二次函數(shù)w=kx²+4kx+3≠0，只需△＜0，
即（4k）²-4×3×k＜0
即 0＜k＜

3

4

三類：當k＜0，要想使二次函數(shù)w=kx²+4kx+3≠0，只需△＜0，
即（4k）²-4×3×k＜0
即 0＜k＜

3

4

（不合，舍去）
綜上所述：[0，

3

4

）．
故答案為：[0，

3

4

）．

點評：本小題主要考查函數(shù)定義域的應用、函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)知識，解答關(guān)鍵是合理應用分類討論的方法．屬于基礎(chǔ)題．