Question

（2011•聊城一模）已知A，B是單位圓（O為圓心）上的兩個(gè)定點(diǎn)，且∠AOB=60°，若C為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，且

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，則xy的最大值為（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：由

OC

=x

OA

+y

OB

，且向量的模都是1，

OA

•

OB

=

1

2

，平方可得1=x²+y²+xy≥3xy，再由x，y∈[0，1]，
可得xy的范圍．

解答：解：由

OC

=x

OA

+y

OB

⇒

OC

2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

•

OB

，
又|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

•

OB

=

1

2

∴1=x²+y²+xy≥3xy，得xy≤

1

3

，
而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧

AB

上變動(dòng)，得x，y∈[0，1]，
于是，0≤xy≤

1

3

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義以及基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．