Question

在四棱錐P-ABCD中，側面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，，．

(1)求證：BC平面PBD：
(2)求直線AP與平面PDB所成角的正弦值；
(3)設E為側棱PC上異于端點的一點，，試確定的值，使得二面角E－BD－P的余弦值為．

Answer 1

（1）參考解析；（2）;（3）

試題分析：（1）由PDCD，底面ABCD是直角梯形，如圖建立空間直角坐標系，，，寫出點D,B,C,P,的坐標，分別寫出相應的向量，即可得向量BD與向量CB的數量積為零，向量PD與向量BC的數量積為零.由向量關系轉化為空間線面中位置關系，即可得到結論.
（2）要求直線AP與平面PDB所成角的正弦值，等價于求出平面PBD的法向量與向量AP所成的角余弦值即可.
（3）要使得二面角E－BD－P的余弦值為，關鍵是求出平面EBD的法向量，由于平面PBD的法向量已知，再通過兩法向量的夾角的絕對值等于.即可解出的值.
試題解析：（1）證明：因為側面⊥底面，⊥，

所以⊥底面，所以⊥.
又因為＝，即⊥，
以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以
所以，所以.
由⊥底面，可得,
又因為，所以⊥平面.
（2）由（1）知平面的一個法向量為，
所以
設直線AP與平面PDB所成角為，則
(3)因為，又，設
則
所以，.設平面的法向量為，
因為，由，，
得，令，則可得平面的一個法向量為所以，
解得或，又由題意知，故.